初中数学 | 辅助线典型做法

2018-12-18 15:57:34 0
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三角形中常见辅助线的添加 

1. 与角平分线有关的   

(1) 可向两边作垂线。   

(2)可作平行线,构造等腰三角形   

(3)在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形   

2. 与线段长度相关的   

(1) 截长:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,经常在较长的线段上截取一段,使得它和其中的一条相等,再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可   

(2) 补短:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,也可以在较短的线段上延长一段,使得延长的部分等于另外一条较短的线段,再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可   

(3)倍长中线:题目中如果出现了三角形的中线,方法是将中线延长一倍,再将端点连结,便可得到全等三角形。   

(4)遇到中点,考虑中位线或等腰等边中的三线合一。  

3. 与等腰等边三角形相关的   

(1)考虑三线合一   

(2)旋转一定的度数,构造全都三角形,等腰一般旋转顶角的度数,等边旋转60 °


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四边形中常见辅助线的添加  

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需 要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。

1. 和平行四边形有关的辅助线作法       

平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。 

(1) 利用一组对边平行且相等构造平行四边形  

(2)利用两组对边平行构造平行四边形  

(3)利用对角线互相平分构造平行四边形   

2. 与矩形有辅助线作法    

(1)计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题  

(2)证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

3. 和菱形有关的辅助线的作法          

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 

(1)作菱形的高   

(2)连结菱形的对角线 

4. 与正方形有关辅助线的作法      

正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多.解决正 方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线   

5. 与梯形有关的辅助线的作法    

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:   

(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形  

(2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形   

(3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形  

(4)延长两腰构成三角形  

(5)作两腰的平行线等

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圆中常见辅助线的添加  

1. 遇到弦时(解决有关弦的问题时)   

常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。   

作用: 

①  利用垂径定理         

②  利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系         

③  利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量 

2. 遇到有直径时,常常添加(画)直径所对的圆周角    

作用:利用圆周角的性质得到直角或直角三角形   

3. 遇到90度的圆周角时 ,常常连结两条弦没有公共点的另一端点   

作用:利用圆周角的性质,可得到直径   

4. 遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点  

作用: ①可得等腰三角形

②据圆周角的性质可得相等的圆周角   

5. 遇到有切线时常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)          

作用:利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形   

常常添加连结圆上一点和切点    

作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。   

6. 遇到证明某一直线是圆的切线时    

(1) 若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。  

作用:若OA=r,则l为切线   

(2) 若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径)  

作用:只需证OA⊥l,则l为切线   

(3) 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线 

7. 遇到两相交切线时(切线长)   

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点    

作用:据切线长及其它性质,可得到     

①  角、线段的等量关系     

②  垂直关系       

③  全等、相似三角形  

8. 遇到三角形的内切圆时   

连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段    

作用:利用内心的性质,可得   

① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线

② 内心到三角形三条边的距离相等   

9. 遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点     

作用:外心到三角形各顶点的距离相等   

10. 遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)   

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线     

作用: ①利用切线的性质;    ②利用解直角三角形的有关知识   

11. 遇到两圆相交时  常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等      

作用: ①  利用连心线的性质、解直角三角形有关知识          

②  利用圆内接四边形的性质        

③  利用两圆公共的圆周的性质         

④ 垂径定理   

12.遇到两圆相切时   

常常作连心线、公切线       

作用: ①  利用连心线性质          

②  切线性质等   

13. 遇到三个圆两两外切时   

常常作每两个圆的连心线        

作用:可利用连心线性质    

14. 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时 

常常添加辅助圆   

作用:以便利用圆的性质


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